Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等．

（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)動直線與曲線相切于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．

證明：以為直徑的圓恒過軸上某定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后直接利用拋物線的定義求得拋物線方程；（2）設(shè)出直線的方程為： （），聯(lián)立直線方程和拋物線方程化為關(guān)于的一元二次方程后由判別式等于得到與的關(guān)系，求出的坐標(biāo)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)出的坐標(biāo)，然后由向量的數(shù)量積為0證得答案，并求得的坐標(biāo)．

試題解析：（1）解：設(shè)動點(diǎn)E的坐標(biāo)為，

由拋物線定義知，動點(diǎn)E的軌跡是以為焦點(diǎn)， 為準(zhǔn)線的拋物線，

所以動點(diǎn)E的軌跡C的方程為．

（2）證明：由，消去得： ．

因?yàn)橹本�l與拋物線相切，所以，即．

所以直線l的方程為．

令，得．所以Q．

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，則，

解得： ， 設(shè)，

所以當(dāng)，即，所以

所以以PQ為直徑的圓恒過軸上定點(diǎn)．