Question

10．如圖，在多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AD=AC，AB=$\frac{1}{2}$DE，F(xiàn)是CD的中點．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE．

Answer 1

分析 （1）取CE的中點M，連結MF，MB，證明四邊形ABMF是平行四邊形得到AF∥BM，利用直線與平面平行的判定定理證明AF∥平面BCE．
（2）證明AF⊥平面CDE，推出BM⊥平面CDE，通過平面與平面垂直的判定定理證明平面BCE⊥平面CDE．

解答  解：（1）證明：取CE的中點M，連結MF，MB，
∵F是CD的中點
∴MF∥DE且MF=$\frac{1}{2}$DE
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD
∴AB∥DE，MF∥AB
∵AB=$\frac{1}{2}$DE，∴MF=AB
∴四邊形ABMF是平行四邊形
AF∥BM，AF?平面BCE，BM⊆平面BCE
∴AF∥平面BCE
（2）證明：∵AC=AD
∴AF⊥CD，又∵DE⊥平面ACD AF⊆平面ACD∴AF⊥DE，又CD∩DE=D
∴AF⊥平面CDE
又∵BM∥AF，∴BM⊥平面CDE
∵BM?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE

點評 本題考查空間幾何體的體積，直線與平面的位置關系，平面與平面的位置關系的判斷與證明，考查空間想象能力以及邏輯推理計算能力．屬于中檔題．