Question

5．在正三棱錐P-ABC中，E、F分別為棱PA、AB的中點，且EF⊥CE．
（1）求證：直線PB∥平面EFC；
（2）求證：平面PAC⊥平面PAB．

Answer 1

分析 （1）證明EF∥PB，然后利用直線與平面平行的判定定理證明直線PB∥平面EFC．
（2）取棱AC的中點為D，連接PD，BD證明AC⊥PB，推出AC⊥EF，然后證明EF⊥平面PAC，即可證明面PAC⊥平面PAB．

解答 （本小題滿分10分）
證明：（1）∵E，F分別為棱PA、AB的中點，∴EF∥PB…（1分）
∵EF?平面EFC，PB?平面EFC…（2分）
∴直線PB∥平面EFC；…（3分）
（2）取棱AC的中點為D，連接PD，BD，…（4分）
∵三棱錐P-ABC是正三棱錐，∴PA=PC，BA=BC，
∴PD⊥AC，BD⊥AC∵PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PDB∵PB?平面PDB，∴AC⊥PB…（7分）
由（1）知EF∥PB，∴AC⊥EF，
∵EF⊥CE，CE∩AC=C，AC?平面PAC，CE?平面PAC，
∴EF⊥平面PAC，…（9分）
∵EF?平面PAB，
∴平面PAC⊥平面PAB…（10分）

點評 本題排除直線與平面平行的判定定理以及平面與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．