Question

8．已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0時，有$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}$＞0，則不等式$f（x+\frac{1}{2}）＜f（1-x）$的解集為$[0，\frac{1}{4}）$．

Answer 1

分析 由題意，f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，有$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}$＞0，可知[f（m）+f（n）]×（m+n）＞0．可解不等式．

解答 解：由題意，f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，有$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}$＞0，可知[f（m）+f（n）]×（m+n）＞0．
不等式$f（x+\frac{1}{2}）＜f（1-x）$轉化為：$f（x+\frac{1}{2}）$-f（1-x）＜0，等價于$f（x+\frac{1}{2}）+f（x-1）＜0$，
那么有$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤1-x≤1}\\{x+\frac{1}{2}+x-1＜0}\end{array}\right.$，解得：$0≤x＜\frac{1}{4}$
∴不等式的解集為$[0，\frac{1}{4}）$．
故答案為：$[0，\frac{1}{4}）$．

點評 本題考查了函數的性質的運用，轉化思想．屬于中檔題．