Question

19．函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且滿足f（a•b）=f（a）+f（b），f（3）=1則不等式：f（x）-f（x-2）＞3的解集為（2，$\frac{27}{13}$）．

Answer 1

分析 由題意知f（2×2）=f（2）+f（2）=2，f（2×4）=f（2）+f（4）=3，f（x）＞f（8x-16），再由f（x）的定義域為（0，+∞），且在其上為增函數得得到不等式組，即可解得答案．

解答 解：∵f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，
∴f（3×3）=f（3）+f（3）=2，
f（3×9）=f（3）+f（9）=3，
∵f（x）-f（x-2）＞3，
∴f（x）＞f（x-2）+f（27）=f（27x-54）
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數解得，
$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ x-2＞0\\ x＞27x-54\end{array}\right.$
解得，2＜x＜$\frac{27}{13}$．
所以不等式f（x）-f（x-2）＜3的解集為（2，$\frac{27}{13}$）．
故答案為：（2，$\frac{27}{13}$）．

點評 本題考查了抽象函數及其應用，函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．