Question

6．已知二次函數f（x）=x²+mx+n（m，n∈R）的兩個零點分別在（0，1）與（1，2）內，則（m+1）²+（n-2）²的取值范圍是[2，5]．

Answer 1

分析 由二次方程根的分布可得m，n所滿足的不等式組，再由（m+1）²+（n-2）²的幾何意義，由線性規劃的知識可求解．

解答 解：
由題意知，二次函數的圖象與x軸的交點分別在區間（0，1）和（1，2）內，如圖

由圖象可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=n＞0}\\{f（1）=m+n+1＜0}\\{f（2）=2m+n+4＞0}\end{array}\right.$，
此不等式組所表示的平面區域為下圖：

設$z=\sqrt{（m+1）^{2}+（n-2）^{2}}$，則Z的幾何意義即為點E（-1，2）到區域內點的連線段的距離，
過點E作直線m+n+1=0的垂線，如圖，可得Z得最小值為點E到該直線的距離，即${Z}_{min}=\frac{|-1+2+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
又|EC|=2，|EB|=$\sqrt{5}$，∵A（-3，2），∴|EA|=2，
故Z的最大值為$\sqrt{5}$．
∴Z的范圍為$[\sqrt{2}，\sqrt{5}]$，
∴（m+1）²+（n-2）²的范圍為：[2，5]．
故答案為：[2，5]．

點評 本題考查二次方程根的分布及簡單的線性規劃知識．解題關鍵在于能根據根的位置得到不等式組，轉化為線性規劃問題．然后再利用目標函數的幾何意義求解．本題考查了數形結合，轉化與化歸的思想方法．屬于中檔題．