Question

18．棱長均相等的四面體A-BCD中，P為BC中點，Q為直線BD上一點，則平面APQ與平面ACD所成二面角的正弦值的取值范圍是$[\frac{{\sqrt{2}}}{3}，1]$．

Answer 1

分析 由題意把正四面體A-BCD放到正方體BK內，則平面ACD與平面APQ所成角的正弦值等于平面ACD的法向量BK與平面AEPQ所成角的余弦值，由此能求出平面APQ與平面ACD所成二面角的正弦值的取值范圍．

解答 解：由題意把正四面體A-BCD放到正方體BK內，
則平面ACD與平面APQ所成角的正弦值等于平面ACD的法向量BK與平面APQ所成角的余弦值，
問題等價于平面APQ繞AP轉動，
當平面ACD與平面APQ所成角等于BK與AP夾角時，
平面APQ與平面ACD所成二面角的正弦值取最小值，
此時該正弦值為：$\frac{\sqrt{2}}{3}$；
當平面APQ與BK平行時，所成角為0°，
此時正弦值為1．
∴平面APQ與平面ACD所成二面角的正弦值的取值范圍為[$\frac{\sqrt{2}}{3}$，1]．
故答案為：[$\frac{\sqrt{2}}{3}$，1]．

點評 本題考查二面角的正弦值的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．