Question

15．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1-|{x+1}|，x∈[-2，0]\\ 2f（x-2），x∈（0，+∞）\end{array}$，若函數h（x）=f（x）-x-a在區間[-2，4]內有3個零點，則實數a的取值范圍是（-2，0）∪{1}．

Answer 1

分析 作出函數y=f（x）和y=x+a的圖象．利用兩個圖象的交點個數問題確定a的取值范圍．

解答 解：若0≤x≤2，則-2≤x-2≤0，
∴f（x）=2f（x-2）=2（1-|x-2+1|）=2-2|x-1|，0≤x≤2．
若2≤x≤4，則0≤x-2≤2，
∴f（x）=2f（x-2）=2（2-2|x-2-1|）=4-4|x-3|，2≤x≤4．
∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=4．
設y=f（x）和y=x+a，則方程f（x）=x+a在區間[-2，4]內有3個不等實根，、
等價為函數y=f（x）和y=x+a在區間[-2，4]內有3個不同的零點．
作出函數f（x）和y=x+a的圖象，如圖：
，
當直線經過點A（2，0）時，兩個圖象有2個交點，此時直線y=x+a為y=x-2，
當直線經過點O（0，0）時，兩個圖象有4個交點，此時直線y=x+a為y=x，
當直線經過點B（3，4）和C（1，2）時，兩個圖象有3個交點，此時直線y=x+a為y=x+1，
∴要使方程f（x）=x+a在區間[-2，4]內有3個不等實根，
則a=1或-2＜a＜0．
故答案為：（-2，0）∪{1}．

點評 本題主要考查方程根的個數的應用，將方程轉化為函數，利用數形結合是解決此類問題的基本方法．