Question

7．已知函數f（x）=ax³-$\frac{3}{2}$x²+1（x∈R），其中a＞0．
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）若對?x∈[-1，$\frac{1}{2}$]，不等式f（x）＜a²恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導數求出x=2處的斜率，根據點斜式寫出切線方程；
（2）要使對?x∈[-1，$\frac{1}{2}$]，不等式f（x）＜a²恒成立，即f（x）_max＜a²；利用導數判斷單調性求出f（x）的最大值即可．

解答 解：（1）由a=1，所以f（x）=x³-$\frac{3}{2}{x}^{2}$+1，f（2）=3；
又f'（x）=3x²-3x，所以k=f'（x）=6；
所以切線方程為y-3=6（x-2）；
切線方程為：y=6x-9．
（2）f'（x）=3ax²-3x            
令f'（x）=3ax²-3x=0；⇒x₁=0，x₂=$\frac{1}{a}$；
因為a＞0，所以y=f（x）在（-∞，0]，[$\frac{1}{a}$，+∞）遞增，在（0，$\frac{1}{a}$）遞減；
要使對?x∈[-1，$\frac{1}{2}$]，不等式f（x）＜a²恒成立，即f（x）_max＜a²，
1°．當$\frac{1}{2}≤\frac{1}{a}$時，即0＜a≤2時，y=f（x）在[-1，0]遞增，在（0，$\frac{1}{2}$）遞減；
f（x）_max=f（0）=1＜a²  所以1＜a≤2；              
2°．當$\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}$時，即a＞2時，y=f（x）在[-1，0]遞增，在（0，$\frac{1}{a}$）遞減，在[$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$]遞增；
 $f（x）_{max}=max\{f（0），f（\frac{1}{2}）\}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{a+5}{8}$=f（0）=1⇒a=3；        
①當2＜a＜3時，$f（x）_{max}=max\{f（0），f（\frac{1}{2}）\}$=f（0）=1＜a²  所以2＜a＜3；
②當a≥3時，$f（x）_{max}=max\{f（0），f（\frac{1}{2}）\}$=f（$\frac{1}{2}$）＜a²，
即8a²-a-5＞0 對?a≥3都成立；             
綜合1，2得：a＞1

點評 本題主要考查了利用導數求斜率，直線方程以及利用導數判斷函數的單調性與最值等知識點，屬中等題．