Question

7．如圖，已知AB是圓O的直徑，直線CD與圓O相切于點C，AC平分∠DAB，AD與圓O相交于點E
（1）求證：AD⊥CD
（2）若AE=3，CD=2，求OC的長．

Answer 1

分析 （1）連接BC．由直線CD與⊙O相切于點C，可得∠DCA=∠B．再利用角平分線的性質(zhì)可得：△ACD∽△ABC，可得∠ADC=∠ACB，即可證明．
（2）利用切割線定理得：DA．由（1）知：AD⊥CD，可得AC，又由（1）知：△ACD∽△ABC，$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，JK DC．

解答 （1）證明：連接BC．
∵直線CD與⊙O相切于點C，
∴∠DCA=∠B．
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB．
故△ACD∽△ABC，∴∠ADC=∠ACB．
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．
∴∠ADC=90°，即AD⊥CD．
（2）解：由切割線定理得：DA×DE=DC²，即DA×（DA-3）=4，
解得：DA=4．
由（1）知：AD⊥CD，∴AC²=AD²+CD²=20，
又由（1）知：△ACD∽△ABC，∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∴AB=$\frac{A{C}^{2}}{AD}$=5．∴OC=$\frac{AB}{2}$=$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了圓的切線的性質(zhì)、切割線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．