Question

19．在△ABC中，D是AB的中點，AB=2，CD=$\sqrt{7}$．
（Ⅰ）若BC=$\sqrt{5}$，求AC的值；
（Ⅱ）若∠A=$\frac{π}{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△BCD中，利用余弦定理求得cosB，然后在△ABC中，利用余弦定理來求AC的長度；
（Ⅱ）在△ACD中，利用正弦定理求得$sin∠ACD=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$，所以由同角三角函數關系得到$cos∠ACD=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$，結合余弦定理求得AC的長度；最后由三角形面積公式進行解答．

解答 解：因為在△ABC中，D是AB的中點，AB=2，
所以AD=BD=1．
（Ⅰ）在△BCD中，由余弦定理知，cosB=$\frac{B{C}^{2}+B{D}^{2}-C{D}^{2}}{2BC•BD}$=$\frac{5+1-7}{2×\sqrt{5}×1}$
=-$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
所以在△ABC中，由余弦定理知，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=4+5-2×2$\sqrt{5}$×（-$\frac{\sqrt{5}}{10}$）=11，
解得：AC=$\sqrt{11}$；
（Ⅱ）在△ACD中，∠A=$\frac{π}{3}$，AD=1，CD=$\sqrt{7}$，
由正弦定理得到：$\frac{CD}{sinA}$=$\frac{AD}{sin∠ACD}$，即$\frac{\sqrt{7}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{1}{sin∠ACD}$，
所以$sin∠ACD=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$，
因為$CD=\sqrt{7}＞AD=1$，
所以$cos∠ACD=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$，
所以sin∠ADC=sin（∠ACD+∠A）=sin∠ACD•cosA+cos∠ACD•sinA=$\frac{\sqrt{21}}{14}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{5\sqrt{7}}{14}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，即∠$sin∠ADC=\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$，
所以$\frac{AC}{sin∠ADC}$=$\frac{CD}{sinA}$，即$\frac{AC}{\frac{3\sqrt{21}}{14}}$=$\frac{\sqrt{7}}{\frac{1}{2}}$，
解得AC=3$\sqrt{3}$
所以，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•AB•sinA=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×2×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，即${S_{△ACB}}=\frac{3}{2}\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正弦定理和余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．