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1.已知函數f(x)=5x+sinx(x∈R),且f(x2-4x)+f(y2+3)≤0,則當y>0時,$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$的取值范圍是(  )
A.$({0,\frac{{4\sqrt{3}}}{3}}]$B.$[{2,\frac{{4\sqrt{3}}}{3}}]$C.$[{\frac{{4\sqrt{3}}}{3},+∞})$D.[2,+∞)

分析 由題意:可知:f(-x)=-f(x)是奇函數,則f(x2-4x)≤f(-y2-3),f′(x)=5-cosx>0,可知函數單調遞增,可得x2-4x≤-y2-3,求出x與y關系式,k=$\frac{y}{x}$看成斜率的問題,這樣$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$=$k+\frac{1}{k}$看成是勾勾函數.即可求解范圍.

解答 解:∵f(x)=5x+sinx(x∈R),
∴f(-x)=-5x-sinx=-(5x+sinx)=-f(x),
即f(x)=5x+sinx(x∈R)是奇函數,
∵f(x2-4x)+f(y2+3)≤0,
∴f(x2-4x)≤f(-y2-3),
由f'(x)=5-cosx>0,
∴函數單調遞增.
∴x2-4x≤-y2-3,
即y2+x2-4x+4≤1.
當y>0時,
∴不等式對應的平面區域為圓心為(2,0),半徑為1的圓的上半部分.$\frac{y}{x}$幾何意義是動點P(x,y)到定點A(0,0)的斜率k的取值范圍.
設k=$\frac{y}{x}$(k>0),則y=kx,即kx-y=0.
當直線和圓相切時,圓心到直線的距離d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$
即3k2-1=0,解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.此時直線斜率最大.
令函數t=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$=$k+\frac{1}{k}$,(k<0≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$)
利用勾股函數的性質可知:k∈(0,$\frac{\sqrt{3}}{3}$]是單調減函數.
當k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時,t取得最小值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
所以t的取值范圍是[$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,+∞)
故選C.

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的應用,函數奇偶性和單調性的判斷以及直線斜率的取值范圍,綜合性較強,運算量較大,利用數形結合是解決本題的基本思想.屬于中檔題.

練習冊系列答案
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