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20.在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,且cos2B+cosB+cos(C-A)=1,則(  )
A.a,b,c成等比數列B.a,b,c成等差數列C.a,c,b成等比數列D.a,c,b成等差數列

分析 由cos2B+cosB+cos(A-C)=1變形得:cosB+cos(A-C)=1-cos2B,利用三角形內角和定理與誘導公式可得:cosB=-cos(A+C),再利用倍角公式上式化簡得:cos(A-C)-cos(A+C)=2sin2B,化簡再利用足下登錄即可得出.

解答 解:在△ABC中,由cos2B+cosB+cos(A-C)=1變形得:cosB+cos(A-C)=1-cos2B,
∵cosB=cos[π-(A+C)]=-cos(A+C),cos2B=1-2sin2B,
∴上式化簡得:cos(A-C)-cos(A+C)=2sin2B,
∴-2sinAsin(-C)=2sin2B,即sinAsinC=sin2B,
由正弦定理得:ac=b2
則a,b,c成等比數列.
故選:A.

點評 本題考查了正弦定理、三角形內角和定理與誘導公式、倍角公式、和差公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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10.已知函數f(x)=lnx-$\frac{(x-1)^{2}}{2}$.
(1)求函數f(x)的單調區間;
(2)證明:當x>1時,f(x)<x-1
(3)若存在x0>1,當x∈(1,x0)時,恒有f(x)>k(x-1)成立,求實數k的取值范圍.

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11.已知角α的終邊經過點(sin15°,-cos15°),則cos2α的值為(  )
A.$\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$B.$\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$C.$\frac{3}{4}$D.0

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A.1B.-1C.-3D.4

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15.已知函數f(x)=$\left\{\begin{array}{l}1-|{x+1}|,x∈[-2,0]\\ 2f(x-2),x∈(0,+∞)\end{array}$,若函數h(x)=f(x)-x-a在區間[-2,4]內有3個零點,則實數a的取值范圍是(-2,0)∪{1}.

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5.(1)求證:函數y=x+$\frac{a}{x}$有如下性質:如果常數a>0,那么該函數在(0,$\sqrt{a}$]上是減函數,在[$\sqrt{a}$,+∞)上是增函數.
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(3)對于(2)中的函數f(x)和函數g(x)=-x-2a,若對任意x1∈[0,1],總存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1),求實數a的值.

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12.定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x+1)=-f(x)且在[5,6]上是增函數,α,β是銳角三角形的兩個內角,則(  )
A.f(sinα)>f(cosβ)B.f(sinα)>f(sinβ)C.f(sinα)<f(cosβ)D.f(cosα)>f(cosβ)

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17.若實數x,y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x≤2}\\{y≤2}\\{x+y≥2}\end{array}\right.$,則目標函數z=$\frac{y}{x+1}$的最大值是2.

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18.已知函數f(x)(x∈R)滿足:對于任意實數x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y)+$\frac{1}{2}$恒成立,且當x>0時,f(x)>f(0)恒成立,
(1)盤點f(x)在R上的單調性,并加以證明;
(2)若函數F(x)=f(max{-x,2x-x2})+f(-k)+1(其中max$\{a,b\}=\left\{\begin{array}{l}a,a≥b\\ b,a<b\end{array}$)有三個不同的零點x1,x2,x3,求u=(x1+x2+x3)+x1x2x3的取值范圍.

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