Question

5．（1）求證：函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在（0，$\sqrt{a}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函數(shù)．
（2）若f（x）=$\frac{{4{x^2}-12x-3}}{2x+1}$，x∈[0，1]，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）對(duì)于（2）中的函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）=-x-2a，若對(duì)任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁），求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，直接證明即可．
（2）轉(zhuǎn)化函數(shù)的表達(dá)式為（1）的函數(shù)的形式，然后求解函數(shù)的值域即可．
（3）利用函數(shù)的值域以及子集關(guān)系，列出不等式組求解即可．

解答 解：（1）證明：設(shè)$h（x）=x+\frac{a}{x}$，任取x₁，x₂∈（0，$\sqrt{a}$]且x₁＜x₂，$h（{x_1}）-h（{x_2}）={x_1}+\frac{a}{x_1}-（{x_2}+\frac{a}{x_2}）=\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}{x_2}-a）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
顯然，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-a＜0，∴h（x₁）-h（x₂）＞0，即該函數(shù)在∈（0，$\sqrt{a}$]上是減函數(shù)；
同理，對(duì)任意x₁，x₂∈[$\sqrt{a}$，+∞）且x₁＜x₂，h（x₁）-h（x₂）＜0，即該函數(shù)在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函數(shù)；
（2）解：$y=f（x）=\frac{{4{x^2}-12x-3}}{2x+1}=2x+1+\frac{4}{2x+1}-8$，設(shè)u=2x+1，x∈[0，1]，1≤u≤3，
則$y=u+\frac{4}{u}-8$，u∈[1，3]．
由已知性質(zhì)得，當(dāng)1≤u≤2，即$0≤x≤\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，所以減區(qū)間為$[0，\frac{1}{2}]$；
同理可得增區(qū)間為$[\frac{1}{2}，1]$；
由f（0）=-3，$f（\frac{1}{2}）=-4$，$f（1）=-\frac{11}{3}$，得f（x）的值域?yàn)閇-4，-3]．
（3）g（x）=-x-2a為減函數(shù)，故g（x）∈[-1-2a，-2a]，x∈[0，1]．
由題意，f（x）的值域是g（x）的值域的子集，∴$\left\{\begin{array}{l}-1-2a≤-4\\-2a≥-3\end{array}\right.$，
∴$a=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的恒成立，函數(shù)的單調(diào)性的證明與應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．