Question

2．長度都為2的向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的夾角為60°，點C在以O為圓心的圓弧$\widehat{AB}$（劣弧）上，$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，則m+n的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 對 $\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$兩邊平方并根據已知條件可得到（m+n）²-1=mn，因為根據向量加法的平行四邊形法則可知，x，y＞0，結合基本不等式求出m+n的最大值．

解答 解：由已知條件知：$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，
兩邊平方可得4=4m²+4mn+4n²=4（m+n）²-4mn，
∴（m+n）²-1=mn，根據向量加法的平行四邊形法則，容易判斷出m，n＞0，
∴（m+n）²-1=mn≤$\frac{1}{4}$（m+n）²，∴$\frac{3}{4}（m+n）^{2}$≤1，∴m+n≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即m+n的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 考查向量數量積的運算及計算公式，向量加法的平行四邊形法則，基本不等式．