Question

12．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+ax和函數g（x）=e^-x，若對任意x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f′（x₁）≤g（x₂）成立，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{\sqrt{e}}{e}$-8]
• B． [$\frac{\sqrt{e}}{e}$-8，+∞）
• C． [$\sqrt{2}$，e）
• D． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{e}{2}$）

Answer 1

分析 先將問題等價為：f'（x）_max≤g（x）_max，再分別對二次函數和指數函數在相應區間上求最值．

解答 解：根據題意，要使得f'（x₁）≤g（x₂）成立，
只需滿足：f'（x）_max≤g（x）_max，
而f'（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
所以，f'（x）_max=f（2）=a+8，
g（x）=e^-x，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，函數單調遞減，
所以，g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=${e}^{-\frac{1}{2}}$，
因此，a+8≤${e}^{-\frac{1}{2}}$，解得a≤${e}^{-\frac{1}{2}}$-8=$\frac{\sqrt{e}}{e}$-8，
所以，實數a的取值范圍為：（-∞，$\frac{\sqrt{e}}{e}$-8]，
故選：A．

點評 本題主要考查了不等式有解和恒成立的綜合問題，涉及二次函數和指數函數的單調性和值域，以及導數的運算，屬于中檔題．