Question

5．已知點A、B到平面α的距離分別是4、6，則線段AB的中點M到平面的距離α是5或1．

Answer 1

分析 由于A，B的位置可在同側與異側，故需要討論．考慮兩種情況：當A、B兩點有平面α的同側時，當A、B兩點有平面α的異側時，分別利用平面幾何的知識求得M到平面α的距離即可．

解答 解：考慮兩種情況：
當A、B兩點有平面α的同側時，如圖，
分別過A、B、M作α的垂線，可得直角梯形，則AB中點M到平面α的距離為5；
當A、B兩點有平面α的異側時，如圖，
分別過A、B、M作α的垂線，則$\frac{AG}{BG}=\frac{4}{6}$，
∴$\frac{AA′}{OM}=\frac{AG}{GM}=\frac{4}{1}$，則點M到平面α的距離為1．
綜上，點M到平面α的距離為5或1．
故答案為：5或1．

點評 本題考查點、線、面間的距離計算等基礎知識，考查空間想象力和分類討論思想．屬于基礎題．