Question

已知集合A={x|3≤3^x≤27}，B={x|log 

1

2

x＞

1

4

}
（1）求（∁_RB）∪A；
（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：集合的包含關系判斷及應用,交、并、補集的混合運算

專題：函數的性質及應用,集合

分析：（1）根據指數、對數函數的單調性分別求出A和B，再由補集、并集的運算求出（∁_RB）∪A；
（2）根據子集的定義列出不等式，求出a的范圍即可．

解答： 解：（1）因為指數函數y=3^x在定義域上是增函數，且3≤3^x≤27=3³，
所以1≤x≤3，則A={x|1≤x≤3}，
因為對數函數y=log

1

2

x在定義域上是減函數，且log 

1

2

x＞

1

4

=log

1

2

(

1

2

)

1

4

，
所以0＜x＜(

1

2

)

1

4

=

4 8

2

，則B={x|0＜x＜

4 8

2

}，即∁_RB={x|x≤0或x≥

4 8

2

}，
所以（∁_RB）∪A={x|x≤0或x≥

4 8

2

}；
（2）因為集合C={x|1＜x＜a}，且C⊆A={x|1≤x≤3}，
所以a≤1或

a＞1 a≤3

，即a≤3，
則實數a的取值范圍是a≤3．

點評：本題考查補集、并集的混合運算，指數、對數函數的單調性，以及子集的定義，注意對數的真數大于零、空集是任何集合的子集．