Question

已知函數f（x）=

3

sinxcosx+

1+cos2x

2

+a（a為常數）．
（1）求函數f（x）的最小正周期，并指出其單調減區間；
（2）若函數f（x）在[0，

π

2

]上的最大值是2，試求實數a的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）將函數f（x）進行化簡，即可求函數f（x）的最小正周期，并指出其單調減區間；
（2）根據函數f（x）在[0，

π

2

]上的最大值是2，建立條件關系即可求實數a的值．

解答： 解：（1）∵f(x)=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+a=sin(2x+

π

6

)+

1

2

+a…（2分），
∴最小正周期T=

2π

2

=π…（4分）
單調遞減區間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．…（6分）
（2）令u=2x+

π

6

…（7分），
則g(u)=sinu+

1

2

+a，u∈[

π

6

，

7π

6

]…（9分）．
f（x）的最大值為

3

2

+a=2 …（11分）． 解得a=

1

2

…（12分）

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，將函數進行化簡是解決本題的關鍵．