Question

16．已知數列{a_n}滿足首項a₁=2，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2）．
（Ⅰ）證明：{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}為等差數列并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數列{b_n}滿足b_n=log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{{a}_{n}}{n}$，記數列{$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$}的前n項和為T_n，設角B是△ABC的內角，若sinBcosB＞T_n，對于任意n∈N₊恒成立，求角B的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據數列的遞推關系，即可得到結論．
（Ⅱ）通過（Ⅰ）計算可b_n=log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{{a}_{n}}{n}$=2n，進而利用裂項相消求和法計算可知T_n，利用T_n＜$\frac{1}{4}$及二倍角公式化簡可知$\frac{1}{2}$sin2B＞T_n，結合B∈（0，π）計算即得結論．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n=2a_n-1+2ⁿ，兩邊同時除以2ⁿ，可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，
又$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=1，
∴數列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為首項，以1為公差的等差數列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+（n-1）×1=n，
∴a_n=n•2ⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=n•2ⁿ，則b_n=log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{{a}_{n}}{n}$=2n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$．
又∵sinBcosB=$\frac{1}{2}$sin2B＞T_n，對于任意n∈N₊恒成立，
∴$\frac{1}{2}$sin2B≥$\frac{1}{4}$，即sin2B≥$\frac{1}{2}$．
又B∈（0，π），即2B∈（0，2π），
∴$\frac{π}{6}$≤2B≤$\frac{5π}{6}$，
∴B∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查裂項相消求和法，涉及三角函數等基礎知識，對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．