Question

11．已知函數y=|x-1|+|x+7|的最小值為n，則二項式（x+$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系數為56（用數字作答）．

Answer 1

分析 根據絕對值的幾何意義求出n的值，再利用二項式展開式的通項公式求出展開式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系數．

解答 解：由于f（x）=|x-1|+|x+7|表示數軸上的x對應點到1和-7對應點的距離之和，
它的最小值為8，故n=8；
二項式（x+$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式的通項公式為
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•x^-r=${C}_{8}^{r}$•x^8-2r；
令8-2r=-2，解得r=5，
故二項式（x+$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式中$\frac{1}{{x}^{2}}$項的系數為
${C}_{8}^{5}$=${C}_{8}^{3}$=56．
故答案為：56．

點評 本題主要考查絕對值的意義以及利用二項展開式的通項公式求某項的系數問題，是基礎題目．