Question

1．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點為A，左焦點為F，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線相交于B、C兩點，若△ABC為銳角三角形，則雙曲線的離心率的取值范圍為（　　）

• A． （1，2）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （$\sqrt{2}$，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 根據題意，求出AF，$\frac{1}{2}$|BC若△ABC為銳角三角形，只要∠FAB為銳角，即$\frac{1}{2}$|BC|＜AF；從而可得結論．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點為A，左焦點為F，AF=a+c，$\frac{1}{2}$|BC|=$\frac{{b}^{2}}{a}$
過F作垂直于x軸的直線與雙曲線相交于B、C兩點，若△ABC為銳角三角形，
只要∠FAB為銳角，即$\frac{1}{2}$|BC|＜AF；
所以有 $\frac{{b}^{2}}{a}$＜a+c，
即c²-a²＜a²+ac，即：e²-e-2＜0
解出e∈（1，2），
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的離心率和銳角三角形的判斷，在解題過程中要注意隱含條件的挖掘．