Question

5．已知定義在（-1，1）上的函數f（x）滿足：對任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（x+y）．
（Ⅰ）求證：函數f（x）是奇函數；
（Ⅱ）如果當x∈（-1，0]時，有f（x）＜0，試判斷f（x）在（-1，1）上的單調性，并用定義證明你的判斷；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若a-8x+1＞0對滿足不等式f（x-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{4}$-2x）＜0的任意x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意，先分析函數的定義域，可得其定義域關于原點對稱，進而令y=x=0，可得f（0）=0，再令y=-x，分析可得f（-x）=-f（x），即可得答案；
（Ⅱ）分析可得：y=f（x）為（-1，1）上單調遞增，進而證明：先用定義法證明可得y=f（x）為（-1，0]上單調遞增，進而結合函數的奇偶性可得y=f（x）為（-1，0]上單調遞增，綜合可得答案；
（Ⅲ）根據題意，由函數的奇偶性以及單調性可得：若f（x-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{4}$-2x）＜0，則必有$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-\frac{1}{2}＜1}\\{-1＜2x-\frac{1}{4}＜1}\\{x-\frac{1}{2}＜2x-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解可得x的范圍，所以原問題等價于a-8x+1＞0對于-$\frac{1}{4}$＜x＜$\frac{5}{8}$恒成立，分析可得a的取值范圍，即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由題可知，函數y=f（x）的定義域為（-1，1），關于原點對稱；
對于f（x）+f（y）=f（x+y）．
令y=x=0，可得2f（0）=f（0），從而f（0）=0，
再令y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），
所以y=f（x）為（-1，1）上的奇函數；
（Ⅱ）y=f（x）為（-1，1）上單調遞增，
證明如下：
設x₁、x₂為區間（-1，0]上的任意兩個自變量的值，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）；
由于-1＜x₁＜x₂＜0，所以-1＜x₁-x₂≤0，從而f（x₁-x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以y=f（x）為（-1，0]上單調遞增，
又由于y=f（x）為（-1，1）上的奇函數；
由奇函數的性質分析可得：y=f（x）為[0，1）上單調遞增，
故y=f（x）為（-1，1）上單調遞增，
（Ⅲ）根據題意，若f（x-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{4}$-2x）＜0，
則有f（x-$\frac{1}{2}$）＜f（2x-$\frac{1}{4}$），
則必有$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-\frac{1}{2}＜1}\\{-1＜2x-\frac{1}{4}＜1}\\{x-\frac{1}{2}＜2x-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解可得-$\frac{1}{4}$＜x＜$\frac{5}{8}$，
所以原問題等價于a-8x+1＞0對于-$\frac{1}{4}$＜x＜$\frac{5}{8}$恒成立，
則必有a≥[8×（$\frac{5}{8}$）-1]=4，即a≥4；
故a的取值范圍是[4，+∞）．

點評 本題考查抽象函數的應用，涉及函數奇偶性、單調性以及函數恒成立問題的運用，對于（Ⅲ），關鍵在于將原問題轉化為a-8x+1＞0對于-$\frac{1}{4}$＜x＜$\frac{5}{8}$恒成立問題．