Question

7．以下四個關于圓錐曲線的命題中：
①雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$與橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$有相同的焦點；
②在平面內，設A，B為兩個定點，P為動點，且|PA|+|PB|=k，其中常數k為正實數，則動點P的軌跡為橢圓；
③方程2x²-x+1=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④已知P是雙曲線$\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$上一點，F₁，F₂是雙曲線的兩個焦點，若|PF₁|=17，則|PF₂|的值為33．
其中真命題的序號為①④．

Answer 1

分析 利用橢圓、雙曲線的定義及標準方程中a、b、c的數量關系即可判定．

解答 解：對于①，雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的焦點為（±5，0），橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$有相同的焦點為（±5，0），故①正確；
對于②，在平面內，設A，B為兩個定點，P為動點，且|PA|+|PB|=k，其中常數k＞|AB|時，動點P的軌跡才為橢圓，故②錯；
對于③，方程2x²-x+1=0的無實，故③錯；
對于④，|PF₁-|PF₂|=2a=16，若|PF₁|=17，則|PF₂|的值為33或1，可是|PF₂|≥c-a=2，故④正確
故答案：①④．

點評 本題考查了橢圓、雙曲線的定義及標準方程中a、b、c的數量關系，屬于基礎題．