Question

17．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸長是短軸長的2倍，且點P（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）是橢圓M上一點，直線y=$\frac{1}{2}$x+m（m＜0）與橢圓M交于A，B兩點．
（1）求橢圓M的方程；
（2）求證：△PAB的內心在一條定直線上，并求出此定直線的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：2a=2•2b，$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，聯立解出即可得出．
（2）y=$\frac{1}{2}$x+m代入橢圓方程，利用韋達定理，求出PA，PB的斜率的和為0，進而可得，∠APB的角平分線是平行于y軸的直線，由此可得結論．

解答 （1）解：由題意可得：2a=2•2b，$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，聯立解得b=1，a=2．
∴橢圓M的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
將y=$\frac{1}{2}$x+m代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1中，化簡整理得2x²+4mx+4m²-4=0．
于是有x₁+x₂=-2m，x₁x₂=4m²-4，
k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{1}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{1}-\sqrt{2}}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{2}-\sqrt{2}}$
上式中，通分后分子=（y₁-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（x₂-$\sqrt{2}$）+（y₂-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（x₁-$\sqrt{2}$）
=x₁x₂+（m-$\sqrt{2}$）（x₁+x₂）-2$\sqrt{2}$m+2=0，
從而，k_PA+k_PB=0．
因此，∠APB的角平分線是平行于y軸的直線，
所以△PAB的內切圓的圓心在直線x=$\sqrt{2}$上．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、中點坐標公式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．