Question

6．設集合A=[0，$\frac{1}{2}$），B=[$\frac{1}{2}$，1]，函數f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，x∈A}\\{2（1-x），x∈B}\end{array}}$，若f（f（x₀））∈A，則x₀的取值范圍是$（\frac{1}{4}，\frac{5}{8}）$．

Answer 1

分析 這是一個分段函數，從f[f（x₀）]∈A入手，通過分類討論依次表達出里層的解析式，最后得到關于x₀的不等式，解不等式得到結果．

解答 解：①當x₀∈A時，即0$≤{x}_{0}＜\frac{1}{2}$，
∴f（x₀）=${x}_{0}+\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}≤{x}_{0}+\frac{1}{2}＜1$，
即$\frac{1}{2}≤f（{x}_{0}）＜1$，即f（x₀）∈B，
∴f[f（x₀）]=2[1-f（x₀）]=1-2x₀∈A，
即$0≤1-2{x}_{0}＜\frac{1}{2}$，
解得$\frac{1}{4}＜{x}_{0}≤1$，
又0$≤{x}_{0}＜\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{4}＜{x}_{0}＜\frac{1}{2}$．
②當x₀∈B，即$\frac{1}{2}≤{x}_{0}≤1$時，
f（x₀）=2（1-x₀），0$≤1-{x}_{0}≤\frac{1}{2}$，
即0≤f（x₀）≤1，
（i）當$\frac{3}{4}≤{x}_{0}＜1$時，有0≤$f（{x}_{0}）＜\frac{1}{2}$，即f（x₀）∈A，
∴f[f（x₀）]=f（x₀）+$\frac{1}{2}$=2（1-x₀）+$\frac{1}{2}$∈A，
即0$≤f（{x}_{0}）＜\frac{1}{2}$，即f（x₀）∈A，
∴f[f（x₀）]=f（x₀）+$\frac{1}{2}$=2（1-x₀）+$\frac{1}{2}$∈A，
即0$≤2（1-{x}_{0}）+\frac{1}{2}＜\frac{1}{2}$，
解得1$＜{x}_{0}≤\frac{5}{4}$，
又$\frac{3}{4}≤{x}_{0}＜1$，∴x₀∈∅．
（ii）當$\frac{1}{2}≤{x}_{0}≤\frac{3}{4}$時，有$\frac{1}{2}$≤f（x₀）≤1時，即f（x₀）∈B，
所以f[f（x₀）]=2[1-f（x₀）]=2[1-2（1-x₀）]∈A，
即0≤2[1-2（1-x₀）]＜$\frac{1}{2}$，
解得：$\frac{1}{2}$≤x₀＜$\frac{5}{8}$，又由$\frac{1}{2}$≤x₀≤$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$≤x₀＜$\frac{5}{8}$．
綜上①②，則x₀的取值范圍是：$（\frac{1}{4}，\frac{5}{8}）$．
故答案為：$（\frac{1}{4}，\frac{5}{8}）$．

點評 本題考查元素與集合間的關系，考查分段函數，解題的關鍵是看清自變量的范圍，代入適合的代數式．