Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{（{a+1}）x+1，x＜1}\\{{x^2}-2ax+2，x≥1}\end{array}}$是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． -1＜a＜1
• B． -1＜a≤1
• C． $-1＜a＜\frac{1}{3}$
• D． $-1＜a≤\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）在R上單調(diào)遞增便可知，二次函數(shù)x²-2ax+2在[1，+∞）上單調(diào)遞增，一次函數(shù)（a+1）x+1在（-∞，1）上單調(diào)遞增，列出不等式，即可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{（{a+1}）x+1，x＜1}\\{{x^2}-2ax+2，x≥1}\end{array}}$是R上的增函數(shù)，；
∴當(dāng)x≥1時，f（x）=x²-2ax+2為增函數(shù)；
∴a≤1；
當(dāng)x＜1時，f（x）=（a+1）x+1為增函數(shù)；
∴a+1＞0；
∴a＞-1；
且a+2≤3-2a；
解得$≤\frac{1}{3}$；
∴實數(shù)a的取值范圍為：（-1，$\frac{1}{3}$]．
故選：D．

點評 考查增函數(shù)的定義，分段函數(shù)單調(diào)性的特點，以及二次函數(shù)的單調(diào)性和對稱軸的關(guān)系，一次函數(shù)的單調(diào)性．