Question

6．已知${（\root{3}{x^2}+3x）^n}$展開式中各項系數的和比它的二項式系數的和大4032．
（Ⅰ）求展開式中含x⁴的項；
（Ⅱ）求展開式中二項式系數最大的項．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x=1求出展開式各項系數和，與二項式系數和作差求得n，寫出二項展開式的通項，由x的指數為4求出r，即可求得展開式中含x⁴的項；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得展開式中第4項的二項式系數最大，即r=3，代入通項得答案．

解答 解：（Ⅰ）令x=1得展開式各項系數和為4ⁿ，而二項式系數和為$C_n^0+C_n^1+…+C_n^n={2^n}$，
由題意得4ⁿ-2ⁿ=4032，即（2ⁿ-64）（2ⁿ+63）=0，得2ⁿ=64或2ⁿ=-63，
又∵n∈N^*，∴2ⁿ=64，故n=6，
二項展開式的第r+1項為${T_{r+1}}={3^r}•C_6^r•{x^{\frac{12+r}{3}}}$，
令$\frac{12+r}{3}=4$，得r=0，
∴展開式中含x⁴的項為${T_1}={3^0}•C_6^0•{x^4}={x^4}$；
（Ⅱ）∵n=6，∴展開式中第4項的二項式系數最大，
即${T_{3+1}}={3^3}•C_6^3•{x^{\frac{12+3}{3}}}=540{x^5}$．

點評 本題考查二項式系數的性質，考查了二項式定理的應用，關鍵是熟記二項展開式的通項，是基礎題．