Question

1．設f（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$（a＞0，a≠1），[m]表示不超過實數m的最大整數，求函數[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（-x）-$\frac{1}{2}$]的值域．

Answer 1

分析 把所求的式子代入整理可得[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（-x）-$\frac{1}{2}$]=[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{a}^{x}}$]+[$\frac{1}{1+{a}^{x}}$-$\frac{1}{2}$]，由指數函數的性質分類討論求解．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$=1-$\frac{1}{1+{a}^{x}}$
∴[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（-x）-$\frac{1}{2}$]=[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{a}^{x}}$]+[$\frac{1}{1+{a}^{x}}$-$\frac{1}{2}$]
∵a^x＞0，∴0＜$\frac{1}{1+{a}^{x}}$＜1
當0＜$\frac{1}{1+{a}^{x}}$＜$\frac{1}{2}$時，[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{a}^{x}}$]=0，[$\frac{1}{1+{a}^{x}}$-$\frac{1}{2}$]=-1，原式為-1
當$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{1+{a}^{x}}$＜1時，[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{a}^{x}}$]=-1，[$\frac{1}{1+{a}^{x}}$-$\frac{1}{2}$]=0，原式為-1
當$\frac{1}{1+{a}^{x}}$=$\frac{1}{2}$時，[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{a}^{x}}$]=0，[$\frac{1}{1+{a}^{x}}$-$\frac{1}{2}$]=0，原式為0
故函數的值域為{-1，0}．

點評 本題主要考查了利用題目中的定義求解函數的值域，解題的關鍵是要根據指數函數的值域，分類討論，屬于中檔題．