Question

已知函數f（x）=sin2x+2cos²x-1．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（Ⅱ）已知△ABC三邊a，b，c所對的角分別是A，B，C，若f（

A

2

）=

2

，b=

2

，且△ABC的面積為1，求a的值．

Answer 1

考點：余弦定理,三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法,正弦函數的圖象

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函數公式，以及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，利用周期公式求出函數f（x）的最小正周期，根據正弦函數的單調性求出f（x）的單調遞增區間即可；
（Ⅱ）由第一問確定出的解析式，根據f（

A

2

）=

2

，求出A的度數，利用三角形面積公式列出關系式，把sinA，b，已知面積代入求出c的值，利用余弦定理求出a的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
∵ω=2，∴T=π，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得：-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z，
則函數f（x）的最小正周期為π，單調遞增區間為[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（

A

2

）=

2

sin（A+

π

4

）=

2

，
∴A+

π

4

=

π

2

，即A=

π

4

，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

2

×c×

2

2

=1，
∴c=2，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=2+4-4=2，
解得：a=

2

．

點評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．