Question

17．已知函數g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區間[2，3]上的最大值為4，最小值為1，記f（x）=g（|x|），x∈R；
（1）求實數a、b的值；
（2）若不等式$f（x）+g（x）≥log_2^2k-2{log_2}k-3$對任意x∈R恒成立，求實數k的范圍；
（3）對于定義在[p，q]上的函數m（x），設x₀=p，x_n=q，用任意x_i（i=1，2，…，n-1）將[p，q]劃分成n個小區間，其中x_i-1＜x_i＜x_i+1，若存在一個常數M＞0，使得不等式|m（x₀）-m（x₁）|+|m（x₁）-m（x₂）|+…+|m（x_n-1）-m（x_n）|≤M恒成立，則稱函數m（x）為在[p，q]上的有界變差函數，試證明函數f（x）是在[1，3]上的有界變差函數，并求出M的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知中g（x）在區間[2，3]的最大值為4，最小值為1，結合函數的單調性及最值，我們易構造出關于a，b的方程組，解得a，b的值；
（2）求出f（x），$f（x）+g（x）≥log_2^2k-2{log_2}k-3$對任意x∈R恒成立等價于F（x）_min=f（x）+g（x）恒成立，求實數k的范圍；
根據有界變差函數的定義，我們先將區間[1，3]進行劃分，進而判斷$\sum_{i=1}^{n}$|m（xi）-m（xi-1）|≤M是否恒成立，進而得到結論．

解答 解：（1）∵函數g（x）=ax²-2ax+1+b，
∵a＞0，對稱軸x=1，
∴g（x）在區間[2，3]上是增函數，
又∵函數g（x）故在區間[2，3]上的最大值為4，最小值為1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a×{2}^{2}-2a×2+1+b=1}\\{a×{3}^{2}-2a×3+1+b=4}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=0．
∴g（x）=x²-2x+1
故實數a的值為1，b的值為0．
（2）由（1）可知g（x）=x²-2x+1，
∵f（x）=g（|x|），
∴f（x）=x²-2|x|+1，
∵$f（x）+g（x）≥log_2^2k-2{log_2}k-3$對任意x∈R恒成立，
令F（x）=f（x）+g（x）=x²-2x+1+x²-2|x|+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-4x+2，（x≥0）}\\{2{x}^{2}+2，（x＜0）}\end{array}\right.$
根據二次函數的圖象及性質可得F（x）_min=f（1）=0
則F（x）_min≥$（lo{g}_{2}k）^{2}-2lo{g}_{2}k-3$恒成立，即：$（lo{g}_{2}k）^{2}-2lo{g}_{2}k-3$≤0
令log₂k=t，
則有：t²-2t-3≤0，
解得：-1≤t≤3，
即$lo{g}_{2}\frac{1}{2}≤lo{g}_{2}k≤lo{g}_{2}8$，
得：$\frac{1}{2}≤k≤8$
故得實數k的范圍為$[\frac{1}{2}，8]$．
（3）函數f（x）為[1，3]上的有界變差函數．
因為函數f（x）為[1，3]上的單調遞增函數，且對任意劃分T：1=x₀＜x₁＜…＜x_i＜…＜x_n=3
有f（1）=f（x₀）＜f（x₁）＜…＜f（x_I）＜…＜f（x_n）=f（3）
所以$\sum_{i=1}^{n}$|m（xi）-m（xi-1）|=f（x₁）-f（x₀）+f（x₂）-f（x₁）＜…＜f（x_n）-f（x_n-1）
=f（x_n）-f（x₀）=f（3）-f（1）=4恒成立，
所以存在常數M，使得$\sum_{i=1}^{n}$|m（xi）-m（xi-1）|≤M是恒成立．
M的最小值為4，即M_min=4；

點評 本題考查的知識點是函數恒成立問題，二次函數在閉區間上的最值，新定義，其中（1）的關鍵是分析出函數的單調性，（2）要用轉化思想將其轉化為二次函數（3）的關鍵是真正理解新定義的含義．