Question

20．甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，負的一方在下一局當裁判，假設每局比賽中，甲勝乙的概率為$\frac{1}{2}$，甲勝丙、乙勝丙的概率都為$\frac{2}{3}$，各局比賽的結果都相互獨立，第1局甲當裁判．
（Ⅰ）求第三局甲當裁判的概率；
（Ⅱ）記前4局中乙當裁判的次數為X，求X的概率分布與數學期望；
（Ⅲ）已知第三局甲當裁判，求前4局中乙當裁判的次數恰好為1次的概率．

Answer 1

分析 （I）討論第二局的裁判，得出第三局的裁判概率；
（II）對前四局的裁判情況進行討論，得出X的分布列，再計算均值；
（III）利用條件概率公式計算．

解答 解：（Ⅰ）第2局中可能是乙當裁判的概率為$\frac{1}{3}$，丙當裁判的概率為$\frac{2}{3}$，
第3局甲當裁判的概率為$\frac{1}{3}•\frac{1}{3}+\frac{2}{3}•\frac{1}{2}=\frac{4}{9}$． 
（Ⅱ）X可能的取值為0，1，2． 
$P（X=0）=\frac{2}{3}•\frac{1}{2}•\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$；  
  $P（X=1）=\frac{1}{3}•（\frac{1}{3}•\frac{2}{3}+\frac{2}{3}•\frac{1}{2}）+\frac{2}{3}•\frac{1}{2}+\frac{2}{3}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}=\frac{17}{27}$；
$P（X=2）=\frac{1}{3}•（\frac{2}{3}•\frac{1}{2}+\frac{1}{3}•\frac{1}{3}）=\frac{4}{27}$．  
∴X的數學期望$E（X）=0×\frac{2}{9}+1×\frac{17}{27}+2×\frac{4}{27}=\frac{25}{27}$． 
（Ⅲ）記第三局甲當裁判的事件為A，前4局中乙當裁判的次數恰好為1次的事件為B，
由（Ⅰ）知：$P（A）=\frac{4}{9}$，又$P（AB）=\frac{1}{3}•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}+\frac{2}{3}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}=\frac{5}{27}$，
∴前4局中乙當裁判的次數恰好為1次的概率為$P（B|A）=\frac{P（AB）}{P（A）}=\frac{{\frac{5}{27}}}{{\frac{4}{9}}}=\frac{5}{12}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列，條件概率，屬于中檔題．