Question

5．設p：實數x滿足x²-4ax+3a²≤0（a＞0），q：實數x滿足$\frac{x-3}{x-2}＜0$
（1）若a=1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，x²-4x+3≤0，解得1≤x≤3，由$\frac{x-3}{x-2}＜0$，解得2＜x＜3，根據p∧q為真，即可得出．
（2）若p是q的必要不充分條件，則q⇒p且p⇒q．設A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，則A?B，解出即可得出．

解答 解：（1）當a=1時，x²-4x+3≤0，解得1≤x≤3，即p為真時，實數x的取值范圍為1≤x≤3．
由$\frac{x-3}{x-2}＜0$，解得2＜x＜3，即q為真時，實數x的取值范圍為2＜x＜3．
若p∧q為真，則$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤3}\\{2＜x＜3}\end{array}\right.$，解得實數x的取值范圍為（2，3）．
（2）若p是q的必要不充分條件，則q⇒p且p⇒q．
設A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，則A?B，又B=（2，3）．
由x²-4ax+3a²≤0，得（x-3a）（x-a）≤0，則A=[a，3a]，有$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\ 3≤3a\end{array}\right.$，解得1≤a≤2
因此a的取值范圍為[1，2]．

點評 本題考查了不等式的解法、分類討論方法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．