Question

8．設a≥b＞0，分別用綜合法和分析法證明：3a³+2b³≥3a²b+2ab²．

Answer 1

分析 綜合法：利用作差法分析符號，推出結果即可．
分析法：利用分析法的證明步驟，找出不等式成立的充要條件即可．

解答 證明：綜合法：3a³+2b³-（3a²b+2ab²）=3a²（a-b）+2b²（b-a）=（3a²-2b²）（a-b）．
因為a≥b＞0，所以a-b≥0，3a²-2b²＞0，從而（3a²-2b²）（a-b）≥0，
所以3a³+2b³≥3a²b+2ab²．…（6分）
分析法：要證3a³+2b³≥3a²b+2ab²，只需證3a²（a-b）-2b²（a-b）≥0，
只需證（3a²-2b²）（a-b）≥0，∵a≥b＞0．∴a-b≥0，
3a²-2b²＞2a²-2b²≥0，
即：3a³+2b³≥3a²b+2ab²…（6分）

點評 本題考查不等式的證明，分析法以及綜合法的應用，考查邏輯推理能力．