Question

18．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D為A₁B₁的中點．
（Ⅰ）證明：A₁C∥平面BC₁D；
（Ⅱ）若A₁A=A₁C，點A₁在平面ABC的射影在AC上，且側面A₁ABB₁的面積為$2\sqrt{3}$，求三棱錐A₁-BC₁D的體積．

Answer 1

分析 （I）連接B₁C交BC₁于點E，連接DE．利用中位線定理可得DE∥A₁C，故而A₁C∥平面BC₁D；
（II）過點A₁作A₁O⊥平面ABC，垂足為O，則O為AC中點，利用勾股定理計算A₁O，代入體積公式V${\;}_{{A}_{1}-B{C}_{1}D}$=V${\;}_{B-{A}_{1}{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{C}_{1}D}•h$計算．

解答 （Ⅰ）證明：連接B₁C交BC₁于點E，連接DE．
則E為B₁C的中點，又D為A₁B₁的中點，
∴DE∥A₁C，又DE?平面BC₁D，A₁C?平面BC₁D，
∴A₁C∥平面BC₁D．
（Ⅱ）解：過點A₁作A₁O⊥平面ABC，垂足為O，則O在AC上，
∵A₁A=A₁C，∴O為AC的中點．
過點O作OF⊥AB于點F，連接A₁F．
∵A₁O⊥平面ABC，∴A₁O⊥AB，
又A₁O∩OF=O，A₁D?平面A₁OF，OF?平面A₁OF，
∴AB⊥平面A₁OF，∴A₁F⊥AB．
∴側面A₁ABB₁的面積為AB•A₁F=2$\sqrt{3}$，
在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=120°，∴AB=2$\sqrt{3}$，
∴A₁F=1，又AO=$\frac{1}{2}$AC=1，∠BAC=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$，AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
設A₁O=h，則AA₁=$\sqrt{{h}^{2}+1}$，
由AA₁²=AF²+A₁F²可得h²+1=$\frac{3}{4}+1$，解得h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴V${\;}_{{A}_{1}-B{C}_{1}D}$=V${\;}_{B-{A}_{1}{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{C}_{1}D}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．