Question

7．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+1，x＜0}\\{|\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+1|，x≥0}\end{array}\right.$，方程f²（x）-af（x）+b=0（b≠0）有六個不同的實數解，則3a+b的取值范圍是（　�。�

• A． [6，11]
• B． [3，11]
• C． （6，11）
• D． （3，11）

Answer 1

分析 作函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+1，x＜0}\\{|\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+1|，x≥0}\end{array}\right.$的圖象，從而利用數形結合知t²-at+b=0有2個不同的正實數解，且其中一個為1，從而可得-1-a＞0且-1-a≠1；從而解得．

解答 解：作函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+1，x＜0}\\{|\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+1|，x≥0}\end{array}\right.$的圖象如下，

∵關于x的方程f²（x）-af（x）+b=0有6個不同實數解，
令t=f（x），
∴t²-at+b=0有2個不同的正實數解，
其中一個為在（0，1）上，一個在（1，2）上；
故$\left\{\begin{array}{l}b＞0\\ 1-a+b＜0\\ 4-2a+b＞0\end{array}\right.$，
其對應的平面區域如下圖所示：

故當a=3，b=2時，3a+b取最大值11，
當a=1，b=0時，3a+b取最小值3，
則3a+b的取值范圍是（3，11）
故選：D

點評 本題考查了數形結合的思想應用及分段函數的應用，同時考查了線性規劃，難度中檔．