Question

3．直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）寫出C₁的普通方程和C₂的直角坐標方程；
（2）設點P在C₁上，點Q在C₂上，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），利用平方關系可得普通方程．曲線C₂的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（sinθ+cosθ）=2$\sqrt{2}$，利用互化公式可得直角坐標方程．
（2）設與直線x+y-4=0平行的直線方程x+y+t=0與橢圓相切，聯立化為：4x²+6tx+3t²-3=0，令△=0，解得t，進而得出．

解答 解：（1）曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），利用平方關系可得：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
曲線C₂的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（sinθ+cosθ）=2$\sqrt{2}$，化為：x+y-4=0．
（2）設與直線x+y-4=0平行的直線方程x+y+t=0與橢圓相切，
則$\left\{\begin{array}{l}{x+y+t=0}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：4x²+6tx+3t²-3=0，
△=36t²-4（3t²-3）=0，解得t=±2，t=-2時，|PQ|取得最小值=$\frac{|-4-（-2）|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直線的參數方程及其應用、極坐標方程化為直角坐標方程、直線與橢圓相切與判別式的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．