Question

18．若$（{x+3}）{（{1-\frac{2}{{\sqrt{x}}}}）^n}$的展開式中常數(shù)項為43，則$\int_2^n{2xdx=}$21．

Answer 1

分析 利用（1-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開式$\frac{1}{x}$的項與x+3的一次項相乘，展開式的常數(shù)項與x+3的常數(shù)項相乘，即可得到$（{x+3}）{（{1-\frac{2}{{\sqrt{x}}}}）^n}$的展開式中常數(shù)項為43，即可求出n的值，再根據(jù)定積分的計算法則計算即可

解答 解：（1-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開式的通項為C_n^r（-2）^rx${\;}^{-\frac{r}{2}}$，由題意可得：
3C_n⁰（-2）⁰+C_n²（-2）²=43，
解得n=5，
則${∫}_{2}^{5}$2xdx=x²|${\;}_{2}^{5}$=25-4=21，
故答案為：21．

點評 本題考查了二項式定理的應(yīng)用問題，也考查了利用展開式的通項公式求指定項的系數(shù)，以及定積分的計算，屬于中檔題