Question

2．從雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點F引圓x²+y²=a²的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于P點，若M為線段FP的中點，O為坐標原點，則|MO|-|MT|等于（　�。�

• A． c-a
• B． b-a
• C． a-b
• D． c-b

Answer 1

分析 設F′是雙曲線的右焦點，連接PF′．利用三角形的中位線定理和雙曲線的定義可得：|OM|=$\frac{1}{2}$|PF′|=$\frac{1}{2}$（|PF|-2a）=$\frac{1}{2}$|PF|-a=|MF|-a，于是|OM|-|MT|=|MF|-|MT|-a=|FT|-a，連接OT，則OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，可得|FT|=$\sqrt{丨OF{丨}^{2}-丨OT{丨}^{2}}$=b．即可得出結論．

解答 解：如圖所示，設F′是雙曲線的右焦點，連接PF′．
∵點M，O分別為線段PF，FF′的中點，
由三角形中位線定理得到：|OM|=$\frac{1}{2}$|PF′|=$\frac{1}{2}$（|PF|-2a）=$\frac{1}{2}$|PF|-a
=|MF|-a，
∴|OM|-|MT|=|MF|-|MT|-a=|FT|-a，連接OT，因為PT是圓的切線，
則OT⊥FT，
在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，
∴|FT|=$\sqrt{丨OF{丨}^{2}-丨OT{丨}^{2}}$=b．
∴|OM|-|MT|=b-a．
故選B．

點評 本題考查了雙曲線的定義和性質的運用，結合三角形的中位線定理、直線與圓相切的性質等知識，考查學生的計算能力和分析能力，是中檔題．