Question

11．設函數f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，其中a∈R．已知f（x）在x=3處取得極值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f′（3）=0，求出a的值，從而求出函數的解析式即可；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可．

解答 解：（1）f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a，
由f（x）在x=3處取得極值，
得f′（3）=54-18（a+1）+6a=0，
解得：a=3，
故f（x）=2x³-12x²+18x+8；
（2）由（1）f′（x）=6x²-24x+18=6（x-1）（x-3），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜3，
故f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，3）遞減，在（3，+∞）遞增；
故f（x）_max=16，f（x）_min=-100．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．