Question

16．已知sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，θ∈（0，π），則$\frac{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}{3co{s}^{2}θ-4si{n}^{2}θ}$的值是$-\frac{41}{37}$．

Answer 1

分析 根據同角三角函數關系式求解出sinθ，cosθ的值，帶入計算即可．

解答 解：由sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，sin²θ+cos²θ=1
解得：$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{4}{5}}\\{cosθ=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=-\frac{3}{5}}\\{cosθ=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
∵θ∈（0，π），
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{4}{5}}\\{cosθ=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
則$\frac{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}{3co{s}^{2}θ-4si{n}^{2}θ}$=$\frac{\frac{9}{25}+2×\frac{16}{25}}{3×\frac{9}{25}-4×\frac{16}{25}}$=$-\frac{41}{37}$．
故答案為：$-\frac{41}{37}$．

點評 本題主要考察了同角三角函數關系式的應用，屬于基本知識的考查．