Question

6．已知遞增數列{a_n}滿足a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{2}$（a_n²+n），數列{b_n}滿足b_n+1+（-1）ⁿb_n=a_n．記數列{b_n}的前n項和為S_n，則S₁₂=42．

Answer 1

分析 a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{2}$（a_n²+n），n≥2時，a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=$\frac{1}{2}$（${a}_{n-1}^{2}$+n-1），相減可得：a_n-a_n-1=1．n=1時，${a}_{1}=\frac{1}{2}（{a}_{1}^{2}+1）$，解得a₁=1．可得a_n=n．數列{b_n}滿足b_n+1+（-1）ⁿb_n=a_n．可得b_n+1+（-1）ⁿb_n=n．通過分類討論即可得出．

解答 解：∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{2}$（a_n²+n），
∴n≥2時，a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=$\frac{1}{2}$（${a}_{n-1}^{2}$+n-1），
相減可得：$（{a}_{n}-1）^{2}={a}_{n-1}^{2}$，
又遞增數列{a_n}，可得a_n-a_n-1=1．
n=1時，${a}_{1}=\frac{1}{2}（{a}_{1}^{2}+1）$，解得a₁=1，也滿足上式．
∴a_n=1+n-1=n．
數列{b_n}滿足b_n+1+（-1）ⁿb_n=a_n．
∴b_n+1+（-1）ⁿb_n=n．
∴b_2k+1+b_2k=2k，
b_2k-b_2k-1=2k-1．
∴b_2k-1+b_2k+1=1．
b_2k+b_2k+2=4k+1．
則S₁₂=（b₁+b₃+…+b₁₁）+（b₂+b₄+…+b₁₂）
=3+（5+13+21）
=42．
故答案為：42．

點評 本題考查了等差數列的通項公式求和公式、數列遞推關系、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．