Question

18．已知拋物線 C：y=$\frac{1}{2}$x²，過不在y軸上的點P作C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B．直線AB與y軸交于點 M，直線PO（O為坐標原點）與AB交于點N，且PN⊥AB．
（Ⅰ）證明M是一個定點；
（Ⅱ）求$\frac{|PN|}{|MN|}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用導數的幾何意義及點斜式方程求得直線PA及PB的方程，將P分別代入方程可得：直線AB的方程為y=xx₀-y₀，由直線PO的斜率為$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，由0P⊥AB，則$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$×x₀=-1，即可求得y₀=-1，則直線AB的方程y=xx₀+1，AB與y軸的焦點M是定點（0，1）；
（Ⅱ）由點到直線的距離公式及兩點之間的距離公式，求得$\frac{|PN|}{|MN|}$=$\sqrt{\frac{1}{\frac{丨PM{丨}^{2}}{丨PN{丨}^{2}}-1}}$，利用基本不等式的性質，即可求得$\frac{丨PM{丨}^{2}}{丨PN{丨}^{2}}$最大值，即可求得$\frac{|PN|}{|MN|}$的最小值．

解答 解：（Ⅰ）證明：設P（x₀，y₀），x₀≠0，顯然y₀≠0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由y=$\frac{1}{2}$x²，求導y′=x，則直線PA的斜率k=x₁，直線PA的方程：y-y₁=x₁（x-x₁），
則y-y₁=x₁x-$\frac{1}{2}$x₁2，即y+y₁=x₁x，
同理直線PB的方程：y+y₂=x₂x，
∴由直線PA，PB過切點P，則y₀+y₁=x₁x₀，y₀+y₂=x₂x₀，
則A和B的坐標滿足y₀+y=xx₀，
∴直線AB的方程為y=xx₀-y₀，則直線PO的斜率為$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，直線AB的斜率為x₀，
由PN⊥AB，即0P⊥AB，
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$×x₀=-1，則y₀=-1，
∴直線AB的方程y=xx₀+1，
∴AB與y軸的焦點M是定點（0，1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）P（x₀，-1），則丨PN丨為P到直線AB：xx₀-y+1=0的距離，
丨PN丨=$\frac{丨{x}_{0}^{2}+2丨}{\sqrt{{x}_{0}^{2}+1}}$，
丨PM丨=$\sqrt{（{x}_{0}-0）^{2}+（-1-1）^{2}}$=$\sqrt{{x}_{0}^{2}+4}$，
由丨MN丨=$\sqrt{丨PM{丨}^{2}-丨PN{丨}^{2}}$，
∴$\frac{|PN|}{|MN|}$=$\frac{丨PN丨}{\sqrt{丨PM{丨}^{2}-丨PN{丨}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{1}{\frac{丨PM{丨}^{2}}{丨PN{丨}^{2}}-1}}$，
由$\frac{丨PM{丨}^{2}}{丨PN{丨}^{2}}$=$\frac{（{x}_{0}^{2}+4）^{2}（{x}_{0}^{2}+1）}{（{x}_{0}^{2}+2）^{2}}$=$\frac{{x}_{0}^{4}+5{x}_{0}^{2}+4}{{x}_{0}^{4}+4{x}_{0}^{2}+4}$=1+$\frac{{x}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{4}+4{x}_{0}^{2}+4}$，
=1+$\frac{1}{{x}_{0}^{2}+\frac{4}{{x}_{0}^{2}}+4}$≤1+$\frac{1}{4+4}$=$\frac{9}{8}$，當且僅當x₀²=$\frac{4}{{x}_{0}^{2}}$，即x₀=±$\sqrt{2}$時，取等號，
則$\frac{|PN|}{|MN|}$=$\sqrt{\frac{1}{\frac{丨PM{丨}^{2}}{丨PN{丨}^{2}}-1}}$≥$\sqrt{\frac{1}{\frac{9}{8}-1}}$=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|PN|}{|MN|}$的最小值2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查拋物線的簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，考查導數的幾何意義，基本不等式的性質，考查計算能力，屬于中檔題．