Question

15．已知函數f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+1，x∈R．
（1）求f（x）的小正周期和單調遞增區間．
（2）求f（x）在x$∈[{-\frac{π}{4}，\left.{\frac{π}{4}}]}$的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，最后將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；
（2）當x$∈[{-\frac{π}{4}，\left.{\frac{π}{4}}]}$上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：函數f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+1，x∈R．
化簡可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{3}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{3}{2}$．
（1）∴f（x）的小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$．
∴f（x）的單調遞增區間為[$-\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（2）當x$∈[{-\frac{π}{4}，\left.{\frac{π}{4}}]}$上時，
可得：2x+$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．
∴當2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{3}$時，函數f（x）取得最小值為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．
當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最大值為1+$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$．
∴f（x）在x$∈[{-\frac{π}{4}，\left.{\frac{π}{4}}]}$的值域為[$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5}{2}$]；

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于基礎題．