Question

10．設f（x）是定義在R上且周期為1的函數，在區間[0，1）上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x∈D}\\{x，x∉D}\end{array}\right.$，其中集合D={x|x=$\frac{n-1}{n}$，n∈N^*}，則方程f（x）-lgx=0的解的個數是8．

Answer 1

分析 由已知中f（x）是定義在R上且周期為1的函數，在區間[0，1）上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x∈D}\\{x，x∉D}\end{array}\right.$，其中集合D={x|x=$\frac{n-1}{n}$，n∈N^*}，分析f（x）的圖象與y=lgx圖象交點的個數，進而可得答案．

解答 解：∵在區間[0，1）上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x∈D}\\{x，x∉D}\end{array}\right.$，
第一段函數上的點的橫縱坐標均為有理數，
又f（x）是定義在R上且周期為1的函數，
∴在區間[1，2）上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）}^{2}，x∈D\\ x-1，x∉D\end{array}\right.$，此時f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個交點；
同理：
區間[2，3）上，f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個交點；
區間[3，4）上，f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個交點；
區間[4，5）上，f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個交點；
區間[5，6）上，f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個交點；
區間[6，7）上，f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個交點；
區間[7，8）上，f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個交點；
區間[8，9）上，f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個交點；
在區間[9，+∞）上，f（x）的圖象與y=lgx無交點；
故f（x）的圖象與y=lgx有8個交點；
即方程f（x）-lgx=0的解的個數是8，
故答案為：8

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，函數的圖象和性質，轉化思想，難度中檔．