Question

19．某大學藝術專業400名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率；
（Ⅱ）已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區間[40，50）內的人數；
（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等．試估計總體中男生和女生人數的比例．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據頻率=組距×高，可得分數小于70的概率為：1-（0.04+0.02）×10；
（Ⅱ）先計算樣本中分數小于40的頻率，進而計算分數在區間[40，50）內的頻率，可估計總體中分數在區間[40，50）內的人數；
（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等．進而得到答案．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖知：分數小于70的頻率為：1-（0.04+0.02）×10=0.4
故從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率為0.4；
（Ⅱ）已知樣本中分數小于40的學生有5人，
故樣本中分數小于40的頻率為：0.05，
則分數在區間[40，50）內的頻率為：1-（0.04+0.02+0.02+0.01）×10-0.05=0.05，
估計總體中分數在區間[40，50）內的人數為400×0.05=20人，
（Ⅲ）樣本中分數不小于70的頻率為：0.6，
由于樣本中分數不小于70的男女生人數相等．
故分數不小于70的男生的頻率為：0.3，
由樣本中有一半男生的分數不小于70，
故男生的頻率為：0.6，
即女生的頻率為：0.4，
即總體中男生和女生人數的比例約為：3：2．

點評 本題考查的知識點是頻率分布直方圖，用樣本估計總體，難度不大，屬于基礎題．