Question

7．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點．若∠MAN=60°，則C的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用已知條件，轉化求解A到漸近線的距離，推出a，c的關系，然后求解雙曲線的離心率即可．

解答 解：雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點為A（a，0），
以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點．
若∠MAN=60°，可得A到漸近線bx+ay=0的距離為：bcos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}b$，
可得：$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}b$，即$\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得離心率為：e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質的應用，點到直線的距離公式以及圓的方程的應用，考查轉化思想以及計算能力．