Question

2．已知等差數列{a_n}前n項和為S_n，且${S_n}={n^2}+c$（n∈N^*）．
（Ⅰ） 求c，a_n；
（Ⅱ） 若${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$，求數列{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用數列遞推關系、等差數列的通項公式即可得出．
（2）利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵${S_n}={n^2}+c$，
∴a₁=S₁=1+c，a₂=S₂-S₁=（4+c）-（1+c）=3，a₃=S₃-S₂=5…（2分）
又∵{a_n}等差數列，∴6+c=6，c=0；    …（3分）
d=3-1=2；a₁=S₁=1+c=1，…（4分）
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1…（5分）
（2）${b_n}=\frac{2n-1}{2^n}$…（6分）
${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+…+\frac{2n-3}{{{2^{n-1}}}}+\frac{2n-1}{2^n}$…①…（7分）
$\frac{1}{2}{T_n}=\begin{array}{l}{\;}&{\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}+…+\frac{2n-3}{2^n}+\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}}\end{array}$…②…（8分）
①-②得  $\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+2（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}）-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$…（9分）
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+2×\frac{{\frac{1}{2^2}[1-{{（\frac{1}{2}）}^{n-1}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$…（10分）
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{{2^{n+1}}}}$…1（1分）
${T_n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$…（12分）

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數列與等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．