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如圖,在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=l,E是PD的中點.
(1)求AB與平面AEC所成角的正弦值;
(2)若點F在線段PD上,二面角E-AC-F所成的角為θ,且tanθ=
2
2
,求
PF
FD
的值.
考點:用空間向量求平面間的夾角,用空間向量求直線與平面的夾角
專題:空間向量及應用
分析:(1)建立空間直角坐標系O-xyz,平面AEC的一個法向量
n
=(x,y,z),利用向量垂直的性質求出一個法向量,利用法向量與AB的夾角解答;
(2)設
PF
FD
,),
AF
=(0,
λ
1+λ
2
1+λ
),平面AFC的一個法向量為
m
=(a,b,c),利用法向量與平面內向量的垂直關系,得到關于λ的等式解之.
解答: 解:(1)如圖建立空間直角坐標系O-xyz,如圖

則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),E(0,
1
2
,1),
AC
=(2,1,0),
AE
=(0,
1
2
,1),
AB
=(2,0,0),
設AB與平面AEC所成的角為α,平面AEC的一個法向量
n
=(x,y,z),
n
AC
=0
n
AE
=0
,所以
2x+y=0
1
2
y+z=0
,取y=-2,
n
=(1,-2,1),
sinα=|cos<
AB
n
>|=
|2+0+0|
2
6
=
6
6

(2)設
PF
FD
,則F(0,
λ
1+λ
2
1+λ
),
AF
=(0,
λ
1+λ
2
1+λ
),
令平面AFC的一個法向量為
m
=(a,b,c),
m
AC
=0
m
AF
=0
,即
2a+b=0
1+λ
+
2c
1+λ
=0

,取b=-2,得
m
=(1,-2,λ),
由tanθ=
2
2
得cosθ=
6
3
=|cos<
n
m
>|=
|5+λ|
6
5+λ2

所以3λ2-10λ-5=0,所以λ=
5±2
10
3

又λ>0,所以λ=
5+2
10
3
,即
PF
FD
=
5+2
10
3
點評:本題考查了空間向量的運用解答線面角和面面角的有關問題,關鍵是適當的建立坐標系,正確寫出所需向量的坐標,利用線面角、面面角的三角函數與平面的法向量夾角的關系解答,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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已知圓C1:x2+(y-2)2=1,點Q(0,-1),動點M到圓C1的切線長與MQ的絕對值的比值為λ(λ>0).
(1)當λ=1和λ=
10
時,求出點M的軌跡方程;
(2)記λ=
10
時的點M的軌跡為曲線C2.若直線l1,l2的斜率均存在且垂直相交于點P,當l1,l2與曲線C1,C2相交,且恒有l(wèi)1和l2被曲線C2截得的弦長相等,試求出所有滿足條件的點P的坐標.

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已知函數f(x)=xlnx,且0<x1<x2,給出下列命題:
f(x1)-f(x2)
x1-x2
<1;
②f(x1)+x2<f(x2)+x1
③x2f(x1)<x1f(x2);
④當lnx1>-1時,x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1).
其中所有正確命題的序號為
 

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若兩個非零向量
a
b
,互相垂直,則下列一定成立的是(  )
A、
a
b
=
0
B、
a
+
b
=
a
-
b
C、|
a
+
b
|=|
a
-
b
|
D、(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=0

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如圖,四棱錐P-ABCD的側面PAD是正三角形,且垂直于底面,底面ABCD是矩形,E是PD的中點,求證:平面ACE⊥平面PCD.

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求函數y=
x2-3x-4
的定義域.

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平行四邊形ABCD中,
BM
=
2
3
B
BD
CN
=
1
4
CA
AB
=
a
AD
=
b
,若
MN
=
ma
+
nb
,求m-n的值.

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利用函數定義證明f(x)=
x2
x+2
在區(qū)間(0,+∞)上的單調性.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在△ABC中,已知B在原點,C點坐標為(0,2),且
|AB|
|AC|
=
2
,求點A的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形.

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