Question

已知直線l₁：mx-y=0，l₂：x+my-m-2=0，m∈R．
（1）求證：對m的任意實數值，l₁和l₂的交點M總在一個定圓上；
（2）若l₁與（1）中的定圓的另一個交點為P₁，l₂與（1）中的定圓的另一個交點為P₂，求△PP₁P₂面積取得最大值，并求出此時直線l₁的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用,直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：（1）聯立兩條直線方程，消去m，即得到l₁和l₂的交點M的方程，判斷M總在一個定圓上即可；
（2）通過l₁與定圓的另一個交點為P₁，l₂與定圓的另一個交點為P₂，利用（2）說明P₁P₂是圓C的直徑，當且僅當圓心C（1，

1

2

）到l₁的距離等于C到l₂的距離時，△MP₁P₂面積取得最大值，利用點到直線的距離公式列出m的關系式，求出m即可得到直線l₁的方程．

解答： 證明：（1）由題意可得

mx-y=0 x+my-m-2=0

，
消去m可得x²+y²-2x-y=0，
方程表示一個以（1，

1

2

）為圓心，以

5

2

為半徑的圓，
即M總在一個定圓上．
解：（2）由圓C的方程以及直線l₁的方程可知，
直線l₁恒過（0，0）點，
方程l₂：x+my-m-2=0可化為（x-2）+m（y-1）=0，
∵對于任意實數m直線l₂：x+my-m-2=0 恒過定點
∴x-2=y-1=0，
∴直線l₂恒過（2，1）點，
故直線l₁，l₂的與圓C的另一個交點P₁（0，0），P₂（2，1），
∵P₁P₂是圓C的直徑，
當且僅當圓心C（1，

1

2

）到l₁的距離等于C到l₂的距離時，△MP₁P₂面積取得最大值，
所以

|m- 1 2 |

m2+1

=

| 1 2 m+1|

m2+1

，
解得：m=3或m=-

1

3

，
所以直線l₁：3x-y=0或x+3y=0．

點評：本題通過恒過定點問題來考查學生方程轉化的能力及直線系的理解，曲線軌跡方程的求法，三角形的面積的最值的判斷，考查計算能力，轉化思想的應用．